د سيټ نظريه

د سيټ نظريه، د رياضيکي منطق هغه څانګه ده، چې سیټونه څېړي او په غير رسمي ډول د شيانو د مجموعې په توګه تشرېح کېدلی شی. که څه هم هر ډول شيان په يوه سيټ کې جمعه کېدلی شي، مګر د رياضياتو د يوې څانګې په توګه د سيټ نظريه زياتره له هغو شيانو سره سروکار لري، چې په ټوله کې په رياضياتو پورې اړه لري.

د سيټ نظريې معاصره څېړنه، د جرمني رياضيپوه ريچارد ډيډيکېنډ (Richard Dedekind) او جورج کېنټر (Georg Cantor) په واسطه په ۱۸۷۰ز لسيزو کې پيل شوه. جورج کېنټر په ځانګړي ډول د سيټ نظريې د بنسټګر په توګه ګڼل کېږي. د دې ابتدايي پړاو په جريان کې پلټل شوي نارسمي سيستمونه، د ساده سيټ نظريې (naive set theory) ترنامه لاندې پر مخ ځي. د ساده سيټ په نظريه کې د متناقضونو، (لکه: د رسسيل، کېنټر او بورالي فورټي متناقضې ويناوې) له کشف نه وروسته، د شلمې پېړۍ په لومړيو کې بېلابېل محوري سيستمونه وړانديز شول، چې له هغې ډلې د (Zermelo–Fraenkel) د سيټ نظريه (د ټاکنې يا غوراوي د منلي حقيقت په ګډون يا له هغې پرته) تر اوسه په ښه ډول پېژندل شوې او تر ټولو زياته څېړل شوې ده.

د سيټ نظريه، په عام ډول په ټوله کې د رياضياتو لپاره د بنسټيز سيستم په توګه کار کوي، په ځانګړي ډول د زرميلو فراينکېل (رياضيپوه دی) سيټ نظريې په بڼه کې د ټاکنې له منلي حقيقت سره. د بنسټيزې ونډې تر څنګ، د سيټ نظريه د لايتناهي رياضيکي نظريې د پرمختګ په موخه يو کاري چوکاټ هم برابروي او د کمپيوټر په علم (لکه: د اړيکې الجبر په نظريه کې) فلسفه او (formal semantics) کې هم بېلابېل کاريالونه لري. د منلو حقيقتونه، د لايتناهي د مفهوم لپاره د دې نظريې تطبيقاتو او د دې په کاريالونو سره يو ځای د دې نظريې بنسټيزې غوښتنې د سيټ نظريه د منطق پوهانو او رياضياتو د برخې فيلسوفانو لپاره د خوښې يا لېوالتيا يوه پراخه ساحه ګرځولې ده. د سيټ نظريې په اړه معاصره څېړنه، د مقالو يوه پراخه اوډنه يا ترتيب رانغاړي، چې د پراخو اصلي عددونو د ثبات د څېړنې په اړه د حقيقي عدد له ساختمان نه ترتيبېږي. ^[۱]

تاريخچه

رياضيکې موضوعات، په نمونه يي ډول د زياتو څېړنو تر منځ د متقابلو عملونو په واسطه څرګندېږي او تکامل کوي. د سيټ نظريه که څه هم، د جورج کېنټر د يوې څېړنې «د ټولو حقيقي الجبري عددونو د مجموعې په ځانګړنو باندې» په واسطه په ز۱۸۷۴ کې رامنځ ته شوه. ^[۲]^[۳]

له ميلاد نه پخوا د پينځمې پېړۍ راهيسې، چې په لويديځ کې د يوناني رياضيپوه (Zeno of Elea) او په ختيځ کې د لومړني هندي رياضيپوهانو په زيار سره پيلېږي؛ رياضيپوهانو د لايتناهي په مفهوم سره هڅه کړې وه. د ۱۹ مې پېړۍ په لومړۍ نيمايي کې د بيرنارد بولزانو (Bernard Bolzano) کار په ځانګړي ډول د يادونې وړ دی. د لايتناهي په اړه معاصره پوهېدنه يا ادراک په ۱۸۷۴ ـ ۱۸۷۰ ز کلونو کې پيل شو او په ريښتيني تحليل (real analysis) کې د کېنټر د کار په واسطه وهڅول شو. د کېنټر او ريچارد ډيډيکېنډ تر منځ د ۱۸۷۲ ز يوې ناستې د کېنټر فکر اغېزمن کړ او د کېڼټر د ۱۸۷۴ زکال څېړنې کې اوج ته ورسېد. ^[۴]^[۵]

د کېنتر کار په اساسي ډول د هغې د وخت رياضيپوهان ووېشل (Karl Weierstrass) او (Dedekind) د کېنټر ملاتړ وکړ، مګر ليوپولډ کرونيکر (Leopold Kronecker) چې اوسمهال د (mathematical constructivism) د بنسټګر په توګه ورته کتل کېږي، د کېنټر ملاتړ ونه کړ. د کېنټر سيټ نظريه، بالاخره د کېنټر د مفاهيمو د کارونې له امله پراخه شوه. لکه: د سيټونو تر منځ د (one-to-one correspondence) نظريه، د نوموړي دا ثبوت چې د تامو يا پوره عددونو په پرتله حقيقي عددونه زيات دي او «د ابديتونو (لايتناهي) لايتناهي» يعنې د کېنټر جنت، چې د طاقت سيټ له عمليې نه په لاس راځي.

د سيټ نظريې د حېرانتيا راتلونکې څپه، په نږدې ۱۹۰ز کې راغله، چې په دې وخت کې دا هم کشف شوي و، چې د کېنټري سيټ نظريې ځينو تعبيرونو، ځينو مغايرتونو ته چې (antinomies) اضداد ورته وايي، لوړوالی ورکړ. بېرټرانډ رسسيل (Bertrand Russell) او ايرنسټ زيرميلو (Ernst Zermelo) په خپلواک ډول د تر ټولو ساده او غوره پېژندل شوي مغايرت بنسټ کېښود، چې اوس ورته د رسيل مغايرت هم وايي. د دې مغايرت له مخې: «د ټولو سيټونو سيټ، چې د خپلو ځانونو (سيټونو) غړي نه دي ، يوه مغايرت ته لارښوونه کوي. له همدې مخې، دا بايد د خپل ځان يو غړی وي چې د خپل ځان يو غړی به نه وي. په ۱۸۹۹ کې کېنټر له خپله ځانه وپوښتل: «د ټولو سيټونو د سيټ اصلي عدد څه شی دی؟» او يو اړوند مغايرت يې تر لاسه کړ. رسيل خپل مغايرت د يوې نمونې په توګه د خپل ۱۹۰۳ز براعظمي رياضياتو کتنه کې په خپل (د رياضياتو بنسټونه The Principles of Mathematics) کې وکاروه. د سيټ له اصطلاح نه وروسته، رسيل د ټولګي يا (Class) اصطلاح وکاروله، چې په وروستيو کې په زيات تخنيکي ډول کارېدلې ده.

په ۱۹۰۶ز کې د سيټ اصطلاح، د مېرمن او خاوند (ويليم هنري ينګ William Henry Young او ګرېس چيشولم ينګ Grace Chisholm Young) په کتاب (د پواينټونو يعې ټکو د سيټونو نظريه) کې راښکاره شوه، چې د د کيمبرېج پوهنتون د چاپخونې په واسطه چاپ شوه. ^[۶]

د سيټ نظريې قوه (momentum) په دې ډول وه، چې په مغايرتونو کې بحث د دې ترک يا پرېښودنې ته زمينه مساعده نه کړه. په ۱۹۰۸ ز کې د زيرميلو (Zermelo) کار او په ۱۹۲۲ ز کې د ابراهم فراينکيل (Abraham Fraenkel) او تورالف سکوليم (Thoralf Skolem) کارونو د منلو حقيقتونو په سيټ اغېزه وکړه، چې د سيټ نظريې لپاره په عام ډول تر ټولو زيات کارول شوی د مغايرتونه سيټ شو. د تحليل ګرانو کار، له هغې ډلې د هنري ليبيسګ (Henri Lebesgue) د سیټ نظريې ستر رياضيکي ګټورتوب په ډاګه کړ، چې د همدې له امله د معاصرو رياضياتو په جوړښت کې ترکيب (اوبدل) شوی دی. د سيټ نظريه په عام ډول د يوه بنسټيز سيستم په توګه کارول کېږي. که څه هم په ځينو برخو، لکه: الجبري، هندسې او (algebraic topology—category theory) کې ورته د ترجېح ورکړل شوي بنسټ په توګه فکر کېږي.

بنسټيز مفاهيم او نښې

د سيټ نظريه، د يوه o جنس او A سيټ تر منځ په يوې بنسټيزې جفتي اړيکې سره پيل کېږي. که چېرې o د A سيټ يو غړی (يو عنصر) وي، نو د o ∈ A نښه کارول کېږي. يو سیټ د هغې د عناصرو د يوه لېست جوړولو په واسطه ښودل کېږي، چې هر عنصر يې د ي کامې يا د عنصر د ځانګړي خاصيت په واسطه د منځنيو قوسونو {} په داخل کې سره بېل شوی وي. دا چې سيټونه په اصل کې شيان دي، د غړيتوب اړيکه سیټونه هم سره یو ځای کولی شي. ^[۷]

د دوو سيټونو تر منځ يوه تر لاسه شوې جفتي اړيکه، د فرعي سيټ اړيکه ده، چې د سيټ شموليات هم ورته وايي. که چېرې د A سيټ ټول عناصر د B سيټ عناصر وي، نو A د B يو فرعي سيټ دی او په A ⊆ B سره ښودل کېږي. د بېلګې په ډول: {1,2} د {1,2,3} يو فرعي سيټ دی او {2} يې هم فرعي سيټ دی، مګر {1,4} يې فرعي سيټ نه دی. لکه څرنګه چې د دې تعريف په واسطه روښانه شو، يو سیټ د خپل ځان فرعي سيټ دی. د هغو حالتونو لپاره چې دا احتمال په کې نامناسب دی يا يې نفې کول منطقي دي؛ د خاص فرعي سيټ (proper subset) اصطلاح پېژندل کېږي. A ته د B خاص فرعي سيټ وايي، که چېرې او يوازې، که چېرې A د B يو فرعي سيټ وي، مګر A له B سره مساوي نه دی. ۱، ۲ او ۳ د {1,2,3} سيټ غړي، يعنې عناصر دي، مګر د هغې فرعي سيټونه نه دي او په همدې ترتيب، فرعي سيټونه، لکه: {1} د {1,2,3} سيټ غړي نه دي.

سرچینې

↑ Kunen 1980، م. xi: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics may be derived."
↑ Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik (په جرمني), 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, S2CID 199545885
↑ Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
↑ Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan (ed.), Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., vol. II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, p. 152, ISBN 3-7728-0466-7
↑ Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, pp. 30–54, ISBN 0-674-34871-0.
↑ Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Theory of Sets of Points, Cambridge University Press
↑ "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. نه اخيستل شوی 2020-08-20.

[FOOTNOTEKunen1980[https://archive.org/details/settheoryintrodu0000kune/page/n13/mode/2up_xi]-1] Kunen 1980، م. xi: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics may be derived."

[cantor1874-2] Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik (په جرمني), 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, S2CID 199545885

[3] Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6

[4] Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan (ed.), Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., vol. II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, p. 152, ISBN 3-7728-0466-7

[5] Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, pp. 30–54, ISBN 0-674-34871-0.

[6] Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Theory of Sets of Points, Cambridge University Press

[7] "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. نه اخيستل شوی 2020-08-20.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]